纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是本身数学证明法律依据 ,常用于证明命题(命题是对某个问题报告 图片的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了而且 而且 领域(比如数学分析)的基础,全都数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法本身非常简单。由于我门我门你还还还可否证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上面的有1个 多步骤。它们实际上由于,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。而且,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,我门我门选着n的倒下会由于n + 1的倒下,而且推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

我门我门来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(而且 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,才能算出1到1000的累加,才能回家。于是高斯想出了上面的法律依据 。天才都不 被逼出来的么?)

我门我门的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,而且命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。而且,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

而且,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有1个 多计算机多多系统进程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多多系统进程 有1个 多多才能达到的终止条件(base case)。比如下面的多多系统进程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多多系统进程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你还还还可否得到f(n),才能计算f(n-1);你还还还可否f(n-1),才能计算f(n-2)……直到f(1)。由于我门我门由于知道了f(1)的值,我门我门就才能 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多多系统进程 实现。使用递归设计多多系统进程 的之前 ,我门我门设置base case,并假设我门我门会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,我门我门只关注初始和衔接,而非要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形状实现的。正如我门我门上面所说的,计算f(n),才能f(n-1);计算f(n-1),才能f(n-2)……。我门我门在寻找到f(1)之前 ,会有而且 空缺: f(n-1)的值那些? f(n-2)的值是那些? …… f(2)的值是那些?f(1)的值是那些? 我门我门的第有1个 多问题报告 图片是f(n)是那些,结果,而且 问题报告 图片引出下有1个 多问题报告 图片,再下有1个 多问题报告 图片…… 每个问题报告 图片的解答都依赖于下有1个 多问题报告 图片,直到我门我门找到第有1个 多才能 回答的问题报告 图片: f(1)的值是那些?

我门我门用栈来保存我门我门在探索过程中的问题报告 图片。C语言中,函数的调用由于是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,全都很自然的,递归用栈来保存我门我门的“问题报告 图片” 。

我门我门假设栈向下增长。首先,我门我门调用f(1000),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1000)暂停执行,并记录当前的状态,比如n的值,当前执行到的位置。之前 调用f(99),栈增加有1个 多frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

而且返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也才能 自行手动实现栈。曾经 才能 得到更好的运行传输下行速率 。

总结

数学归纳法

递归

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